Binaire representatie

We hebben gezien hoe het aantal bits dat gebruikt wordt om een heel getal weer te geven, bepaalt hoe groot het getal kan zijn. Nu gaan we kijken hoe een heel getal precies weergegeven wordt met bits.

Het woord "bit" is een afkorting voor binary digit (binair cijfer).
Mensen gebruiken gewoonlijk 10 cijfers om getallen op te schrijven, dit heet het decimale talstelsel. Vanwege digitale abstractie gebruiken computers er maar 2, dit heet dus het binaire talstelsel.

In het decimale talstelsel,zijn er 10 cijfers (0-9) en iedere plek is tien keer zoveel waard als de plek rechts ervan.

Geen Afbeelding

In het binaire talstelsel, zijn er maar 2 cijfers (0 en 1) en is iedere plek twee keer zoveel waard als de plek rechts ervan.

De 2 rechtsonder 11012 betekent dat 1101 in het binaire talstelsel wordt weergegeven. Normaliter worden getallen geschreven in het decimale talstelsel dus een 10 rechtsonder is alleen nodig als het anders onduidelijk is
Geen Afbeelding

  1. Geen Afbeelding Kijk even hoe dit Snap!-progamma wordt uitgevoerd. Beschrijf het gedrag van de binaire teller. Leg uit wat je ziet.
    Geen Afbeelding

Binaire Notatie Lezen

In het decimale talstelsel, staat iedere plek voor een macht van tien: De plek van de eenheden (100 = 1), de plek van de tientallen (101 = 10), de plek van de honderdtallen (102 = 100), de plek van de duizendtallen (103 = 1000), etc. Dus, bijvoorbeeld:

9827   =   9 × 103  +  8 × 102  +  2 × 101  +  7 × 100

Geen Afbeelding Het binaire talstelsel werkt hetzelfde maar met machten van twee in plaats van machten van tien. De plekken gaan zo: De plek van de eenheden (20 = 1), de plek van de tweetallen(21 = 2), de plek van de viertallen (22 = 4), de plek van de achttallen (23 = 8), de plek van de zestientallen (24 = 16), etc. Dus, bijvoorbeeld:

100102   =   1 × 24  +  0 × 23  +  0 × 22  +  1 × 21  +  0 × 20   =   16  +  2   =   1810

Om te vertalen van binair naar het decimale talstelsel schrijven we eerst het getal op papier. Daarna schrijven we de waardes van iedere plek door de waarde van de rechterpositie te verdubbelen:

1011012 heeft maar 6 cijfers, dus we hebben geen machten van twee nodig hoger dan zes.
1 0 1 1 0 1
32 16 8 4 2 1
Geen Afbeelding

Dit betekent dat het getal, in het decimale talstelsel 1 + 4 + 8 + 32 = 45 is. Dus, 1011012 = 4510.

  1. Vertaal deze binaire getallen naar het decimale talstelsel:
    1. 1012
    2. 1112
    3. 10100112
    4. 10000000002

Schrijven in binaire notatie

Om te vertalen van het decimale talstelsel naar binair, schrijven we eerst de waardes van de binaire plekken van rechts naar links op door de waarde van de rechterpositie te verdubbelen, dus 1, 2, 4, 8 enzovoort. Dit doe je totdat je een waarde krijgt die groter is dan het getal dat je wil gaan opschrijven in binair. Als voorbeeld gaan we het getal 89 omschrijven naar binair, als je deze stap goed gevolgd hebt dan heb je nu een tabel zoals hieronder.

Geen Afbeelding
128 64 32 16 8 4 2 1

Bedenk nu "ik kan 64 van 89 aftrekken, dus ik schrijf een 1 daaronder en dan blijft er 25 over (89-64). Ik schrijf nu een 0 bij 32 omdat ik niet 32 van 25 af kan trekken omdat 32 groter dan 25 is. Ik kan wel 16 eraf halen en dan blijft er 9 over, dus de bit voor 16 wordt ook 1. Als we dit proces blijven herhalen dan zien we dat de bits ook 1 worden voor 8 en 1 (25-16 = 9, 9 - 8 = 1, 1-1 = 0). "

Bij beide manier van vertalen schrijf je altijd de plek van de waardes van rechts naar links (net als met eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.) en de nummers zelfs van links naar rechts.
89
25
9
1
0
128 64 32 16 8 4 2 1
  1 0 1 1 0 0 1

Lees nu het getal af: 10110012 = 8910.

Hieronder staat een meer precieze beschrijving van dit algoritme om de binaire representatie van elk positief heel getal te vinden:

  1. Vind de grootste macht van twee die kleiner is dan het getal dat je om wil schrijven naar binair.
  2. Trek daarna die macht af van het getal en schrijf een 1 op. Onthoud het nieuwe getal.
  3. Vind dan de op-één-na-grootste macht van 2 voor het originele getal en:
    • Als het kleiner is dan het nieuwe getal, trek het af van het nieuwe getal, onthoud het nieuwe getal en schrijf weer een 1 op.
    • Als het groter is dan het nieuwe getal, schrijf dan een nul op.
    Herhaal deze stap met de volgende macht van 2 tot er geen machten van twee meer over zijn, als het goed is, is het getal gelijk aan 0 geworden.

De rij enen en nullen die je overhoudt is de binaire versie van je originele getal.

  1. Schrijf deze getallen in het decimale talstelsel om naar binair:
    1. 63
    2. 64
    3. 65
    4. 129
    5. 128
    6. 127
Terug Volgende